고유값 방정식 $Ax = \lambda x$는 행렬 변환이 벡터를 회전시키는 대신 단순히 스케일링 벡터를 스케일링하는 드문 기하학적 조건을 나타냅니다. 이러한 '특이한' 벡터 $x$는 선형 변환의 주축을 정의합니다.
특별성의 기하학
대부분의 벡터에 대해 $Ax$는 $x$와 다른 방향을 가리킵니다. 고유벡터는 원점을 통과하는 동일한 직선 위에 머무르기 때문에 특별합니다. 고유값 $\lambda$는 이 스케일링의 크기를 알려줍니다:
- $|\lambda| > 1$: 성장(확장).
- $|\lambda| < 1$: 감소(수축).
- $\lambda < 0$: 반전(방향 전환).
비가역성 조건
방정식 $Ax = \lambda x$는 $(A - \lambda I)x = 0$로 다시 쓸 수 있습니다. 영이 아닌 해 $x$가 존재하기 위해서는 행렬 $(A - \lambda I)$가 비가역 (가역적이지 않음)이어야 하며, 이는 그 행렬식이 0이어야 함을 의미합니다: $\det(A - \lambda I) = 0$.
단위행렬과 이동
행렬을 단위행렬만큼 이동시키면 고유벡터는 그대로 유지되지만 고유값은 1만큼 이동됩니다:
$Ax = \lambda x \implies (A+I)x = Ax + Ix = \lambda x + x = (\lambda + 1)x$
투영에서 반사로
투영 $P$의 기하학을 이해하면 선형 연산자 $R = 2P - I$를 통해 반사 $R$를 유도할 수 있습니다.
만약 $x$가 고유값 $\lambda$를 가진 $P$의 고유벡터라면:
$Rx = (2P - I)x = 2(Px) - Ix = 2(\lambda x) - x = (2\lambda - 1)x$
이는 투영(고유값 1과 0)이 반사(고유값 1과 -1)로 변하는 이유를 설명합니다.
🎯 핵심 공식
고유값과 고유벡터는 $\det(A - \lambda I) = 0$를 통해 구합니다. 만약 $A$가 2×2이고 비가역이라면, 그 행들은 $(a, b)$의 배수이며, 고유벡터는 $(b, -a)$입니다.
$Ax = \lambda x \quad | \quad R = 2P - I$